[Naive Set Theory] Section 2 The Axiom of Specification

Naive Set Theory

Section 2 The Axiom of Specification

分类公理

前置要点 Highlights

P. 4 Para. 1: All the basic principles of set theory, except only the axiom of extension, are designed to make new sets out of old ones.

  • 根据已有集合构造新的集合.

P. 4 Para. 2: Warning: a box that contains a hat and nothing else is not the same thing as a hat.

  • 某个单元素集合和这个元素本身是有区别的.

阐明 Exposition

  • 断言
    • 基本类型(原子性语句)
      • (属于 belonging) $x\in A$,
      • (相等 equality) $A=B$.
  • 逻辑运算符

    • $\wedge$ 与(且),
    • $\vee$ 或,
    • $\neg$非,
    • $\Leftarrow$ 蕴含,
    • $\Leftrightarrow$ 双条件(当且仅当),
    • $\exists$ 存在,
    • $\forall$ 任意.
  • 语句构造规则

    1. 将非($\neg$)放于语句前时,可考虑使用小括号包住语句(防止歧义,但往往是多余的).
    2. 将与($\wedge$),或($\vee$),双条件($\Leftrightarrow$)置于语句间时,可考虑使用小括号包住语句.
  • 分类公理
    • 分类公理. 对于每一个集合$A$和每一个条件$S(x)$而言,总有一个对应的集合$B$,使得$B$中都是$A$的元素而满足条件$S(x)$.
    • 这样一种生成$B$的过程,可记作$B=\{x\in A:S(x)\}$
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