[Naive Set Theory] Section 3 Unordered Pairs

Naive Set Theory

Section 3 Unordered Pairs

配对公理

前置要点 Highlights

P. 8 Para. 1: The result is the set $\{x\in A:x\neq x\}$, and that set, clearly, has no elements.

P. 8 Para. 1: The axiom of extension implies that there can be only one set with no elements.

  • 没有元素的集合即空集$\varnothing$(empty set)的存在性.

P. 4 Para. 2: Warning: a box that contains a hat and nothing else is not the same thing as a hat.

P. 10 Para. 1: Thus, for instance, $\varnothing$ and $\{\varnothing\}$ are very different sets.

  • 某个单元素集合和这个元素本身是有区别的.

阐明 Exposition

  • 空集$\varnothing$是任何集合的子集.
    从反面来看,若$A$为集合,$\varnothing \subset A$为假当且仅当$\varnothing$有不属于$A$的元素,而$\varnothing$什么元素都没有,因此命题非假,则命题成立.

  • 配对公理

    • 配对公理. 对于任意两个集合,总有一个集合,使得这两个集合都属于它.
    • 这样的集合$A$,可以写成$\{x\in A: x=a \ or \ x=b\}$.
  • pairs

    • 外延公理说明了配对公理中这样的集合只有一个.
    • 可简记为$\{a,b\}$,称为(实际上此处没有强调顺序,因此是无序对).
    • $\{a,a\}$写为$\{a\}$被称为$a$的单元素集.
  • 一些再定义
    • $a\in A \Leftrightarrow \{a\}\subset A$
    • $\{x: x=a \ or \ x=b\} = \{a,b\}$
    • $\{x: x\in A\} = A$
    • $\{x: x\neq x\} = \varnothing$
    • $\{x: x=a\} = \{a\}$
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