[Naive Set Theory] Section 4 Unions and Intersections

Naive Set Theory

Section 4 Unions and Intersections

并集交集

阐明 Exposition

  • 并集公理并集

    • 并集公理. 对于任意的 集的集合$A$,总存在一个集合$U$拥有所有至少属于$A$中一个集合$X$的元素. (讲道理如果用书上的语言变成中文,我自己觉得别扭,英语更适合阐述这样的语句.)
    • $\displaystyle \forall A,\exists U,\forall x:x\in U\iff (\exists X:x\in X\land X\in A)$
    • 可能是我第一次贴较为标准化的数学语言叙述,理解一下并不难. (实际上此处有些地方没有加括号,若理解有困难,可看 Wikipedia 并集公理1的写法.)
    • $U$叫做$A$并集.
    • 使用分类公理我们可表达成 $U = \{x:\exists X\in A, x\in X\}$
    • 并集公理旨在阐明一个集合的并集是一个集合.
  • 并集记号

    • 若使用$A$来表示集合$U$,可写为$\bigcup A$.
    • 若使用$A$中的集合$X$来表示集合$U$,可写为$\bigcup_{X\in A} X$.
    • 一般地,对于$U$中若只有两个集合$A,B$,那么此时$U$的并集可写为$\big\{X:X\in \{A,B\}\} = A\cup B = \{x: x\in A \lor x\in B\}$
  • 并集的一些性质

    • $\bigcup \{X:X\in \varnothing\}=\varnothing$$\bigcup \varnothing = \varnothing$.
    • $\bigcup \{X:X\in \{A\}\} = A$$\bigcup \{A\} = A$.
    • $A\cup \varnothing = A$
    • $A\cup B = B \cup A$. (交换律)
    • $A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C$ = $A\cup B\cup C$. (结合律)
    • $A\cup A = A$. (幂等性)
    • $A\subset B \Leftrightarrow A\cup B = B$
  • 一般化

    • 一个事实$\{a\}\cup \{b\} = \{a, b\}$
    • $\{a, b, c\}$定义为$\{a,b,c\} = \{a\}\cup\{b\}\cup\{c\}$
    • 证得$\{a,b,c\} = \{x:x=a \lor x=b \lor x=c\}$.这样的无序多元组是确定的.
  • 交集

    • 集合$A, B$交集定义为$A\cap B = \{x\in A:x\in B\}$.
    • 自然有$A\cap B = \{x: x\in A \land x\in B\}$.
  • 交集的一些性质

    • $A\cap \varnothing = \varnothing$
    • $A\cap B = B \cap A$. (交换律)
    • $A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C$ = $A\cap B\cap C$. (结合律)
    • $A\cap A = A$. (幂等性)
    • $A\subset B \Leftrightarrow A\cap B = A$
  • 不交不交集

    • 如果$A\cap B = \varnothing$,则集合$A,B$不交,是一对不交集.
  • 并集和交集的分配律
    • $A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$.
    • $A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

思考: 并集由并集公理导出,而交集是直接定义的原因.
根据分类公理,我们能够直接定义二元关系的交集,即$\{x\in A: x\in B\}$. 注意到分类公理能够构造子集,而我们所需要的并集,它是一个更大的集合,因此需要有并集公理.

  • 模仿并集公理审视交集

    • $V = \{x: \forall X \in A, x\in X\}$.
  • 零元交集($\bigcap$)
    • $V$可被记作$\bigcap A$$\bigcap \{X: X\in A\}$$\bigcap_{X\in A} X$.

习题 Exercise

  1. 证明 $(A\cap B)\cup C=A\cap(B\cup C)\Leftrightarrow C\subset A$.
\begin{aligned}
\mathbf{i.} \ & (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \Rightarrow C \subset A\\
& \because C \subset (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \subset A \\
& \therefore C \subset A\\
\mathbf{ii.} \ & (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \Leftarrow C \subset A\\
& \because C\subset A \Leftrightarrow A\cup C = A\\
& \therefore(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap(B\cup C) = A\cap(B\cup C)\\\\
& \mathrm{Q.E.D} \\
\end{aligned}

参考 Reference

1 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_union

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