[Naive Set Theory] Section 5 Complements and Powers

Naive Set Theory

Section 5 Complements and Powers

补集和幂集

阐明 Exposition

  • 差集相对补集

    • 集合$A,B$差集 $A-B$ 被定义为$A-B=\{x\in A: x\notin B\}$.
    • 上式的定义不一定要满足$B\subset A$.
  • 绝对补集

    • 假设此处提到的集合是全集$U$的子集.
    • 集合$A$的绝对补集$A'$.
    • (其它记号1$A^\complement,\bar A,\complement_{U}A,\complement A$ etc.)
  • 绝对补集的一些性质

    • $(A')'=A$.(对合 involution)
    • $\varnothing '=U, U' = \varnothing$.
    • $A\cap A' = \varnothing, A\cup A' = U$.
    • $A\subset B \Leftrightarrow B' \subset A'$.
    • $(A\cup B)' = A' \cap B', (A\cap B)' = A' \cup B'$.(De Morgan's laws)
  • 二元性

    • 对于已知成立的关于若干个集合且由交、并、补、包含组成的一个等式或命题,我们可将每个集合替换为其补集,交并互换,颠倒包含关系,则原等式或原命题仍成立.
  • 对称差
    • 集合$A,B$的对称差$A+B$被定义为$A+B=(A-B)\cup(B-A)$.
    • 该运算对应逻辑运算中的异或(xor).
  • 对称差的一些性质

    • $A+B = B+A$.(交换律)
    • $A+\varnothing=A$.
    • $A+A=\varnothing$.
  • 零元交集($\bigcap$)的完善

    • Section 4零元交集的第一次定义曾提到,零元交集所操作的集合不能是空集,这是由于考虑其反面情况来思考结果,会发现任意元素都可满足,也就是说空集的交集是一切组成的集合.
    • 现在我们重新定义零元交集,使之与之前的定义兼容,且可对空集操作.
    • 实际上想法也很简单,我们框定一个“宇宙”即可,即将操作限制在全集$U$中.
    • 假定$A$是全集$U$的子集,那么$\bigcap A=\{x\in U: \forall X \in A, x\in X\}$.
  • 幂集公理

    • 幂集公理. 对于一个集合$A$,总存在一个由$A$的所有子集组成的集合.
    • 规范化描述:$\forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\Leftrightarrow x\subset A$.
    • $\mathcal{P}(A) = \{X:X\subset A\}$.
    • 外延公理可知,这样的集合$\mathcal {P}$是唯一的,被称为$A$幂集(power set).
  • 特殊集合的幂集例举

    • $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$.
    • $\mathcal{P}(\{a,b\}) = \{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.
  • 一般化的 De Morgan's laws
    • 若集合$A$由全集$U$的子集组成($A$$\mathcal{P}(U)$的子集),不妨设$D=\{X\in P(U): X'\in A\}$,
    • 则集合$D$的并可写为$\bigcup_{X\in A} X'$,则$D$的交可写为$\bigcap_{X\in A} X'$.
    • 则一般化的 De Morgan's laws 可写为
      • $(\bigcup_{X\in A}X)' = \bigcap_{X\in A}X'$,
      • $(\bigcap_{X\in A}X)' = \bigcup_{X\in A}X'$.

习题 Exercise

  1. 证明$\mathcal{P}(E)\cap\mathcal{P}(F) = \mathcal{P}(E\cap F)$.
    思路是使用外延公理,证明两个集合拥有相同的元素.
    $$ \begin{aligned} &\forall x\in \mathcal{P}(E)\cap \mathcal{P}(F), \\ & x\in \mathcal{P}(E) \ \mathrm{and} \ x\in \mathcal{P}(F)\\ \Leftrightarrow & x\subset E \ \mathrm{and} \ x\subset F \\ \Leftrightarrow & x\subset E\cap F\\ \Leftrightarrow & x\in P(E\cap F)\\ & \mathrm{Q.E.D.} \end{aligned} $$

参考 Reference

1 https://en.wikipedia.org/wiki/Complement_(set_theory)

添加新评论