[Naive Set Theory] Section 8 Functions

Naive Set Theory

Section 8 Functions

函数

阐明 Exposition

  • 函数 (function)

    • 有集合$X,Y$,一个从$X$$Y$函数即是一个关系$f$满足$\mathrm{dom}f=X$并且对于每一个$x\in X$都存在唯一的$y\in Y$使$(x,y)\in f$.
  • $y$唯一性

    • $y\in Y$唯一性的表述: $(x,y)\in f\land (x,z)\in f \Rightarrow y=z$.
    • 满足上述唯一性的$y\in Y$采用$f(x)$记号表示.
    • 这样的关系以$y=f(x)$写法取代$x\ f\ y$$(x,y)\in f$的一般性写法.
  • 自变量

    • 某一个元素$y\in Y$被称作是函数$f$自变量$x$时的.
    • 也称$f$$x$变换映射$y$.
  • 潜在的同义词

    • 映射 (map, mapping)
    • 变换 (transformation)
    • 对应 (correspondence)
    • 算子 (operator)
  • 函数的记号

    • $f: X\rightarrow Y$便表明$f$是一个从$X$$Y$的函数.
  • 函数的集合

    • 所有从$X$$Y$的函数组成的集合,是$\mathcal{P}(X\times Y)$的子集,记作$Y^X$.
    • 如果$A$$X$的子集,则$\forall y\in Y, \exists x\in A, f(x)=y$构成的$Y$的子集被称作是$A$$f$下的像,记作$f(A)$.
  • 定义域值域

    • 根据笛卡儿积的投影,一个从$X$$Y$的函数的定义域$X$,但它的值域$f(X)$的未必是$Y$.
  • 陪域满射

    • 一个从$X$$Y$的函数,$Y$叫做陪域,如果函数$f$的值域和陪域相同,则称函数$f$满射.
  • 包含映射 (inclusion map)

    • 如果$X\subset Y$,那么从$X$$Y$的函数$f(x)=x, x\in X$就是一个从$X$$Y$包含映射.
  • 恒等映射 (identity map)

    • $X$$X$包含映射被称为$X$上的恒等映射.
  • 限制扩充

    • 已知$f: Y\rightarrow Z, X\subset Y$$g(x)=f(x), x\in X$,则$g$被称为$f$$X$限制$f$被称为$g$$Y$扩充.
    • 写作$(f|X)(x)=f(x), x\in X$,同时$(f|X)=f(X)$也成立.
    • $Y$的子集$X$的包含映射即是在$Y$上的恒等映射到$X$的限制.
  • 投影 (projection)

    • 如果$f: X\times Y\rightarrow X$$f(x,y)=x$,则$f$被称作是从$X\times Y$$X$上的投影.
  • 正则映射自然映射) (canonical map)

    • 如果$f: X\rightarrow X/R$$f(x)=x/R$,那么$f$被称为从$X$$X/R$正则映射,也叫自然映射**.
  • 双射一一对应) (one-to-one correspondence)

    • 考虑一个从$X$满射$Y$的函数$f$,定义$X$上的等价关系$R$,有$a,b\in X\land f(a) = f(b), a\ R\ b$. 对于每一个$y\in Y$,使得$g(y)$是一个由所有$x\in X, f(x)=y$构成的集合. 由$R$的定义可知,对于每一个$y$$g(y)$必然是$R$的一个等价类.
    • 比较有趣的是$g(x)$的性质,如果$u,v\in Y, u\neq v$那么$g(u),g(v)\in X/R, g(u)\neq g(v)$. 这样一种将不同的元素映射至不同元素的函数称为双射.
  • 自然数(初步)

    • 定义$0=\varnothing, 1=\{\varnothing\}, 2=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$.
    • 也就是说$0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0,1\}$.
    • 发现$card(0), card(1), card(2)$即元素个数分别代表各自的数目.
  • 指示函数(避免与概率论的特征函数歧义)(characteristic function)
    • 已知$A\subset X$,则$A$指示函数$\chi_A(x)$可以如下定义$$\chi_A(x)=\begin{cases}1, &x\in A\\0, &x\in X-A\end{cases}$$
    • 指示函数$\mathcal{P}(X)$$2^X$之间的一一对应函数.

习题 Exercise

  • 证明无论$Y$是否为空,$Y^{\varnothing}$只有一个元素$\varnothing$.
    \begin{aligned}
    \mathbf{i.} \ &f=\varnothing\\
    \Rightarrow &\mathrm{dom}f=\varnothing\land (\forall x,\exists y\in Y: (x,y)\in f)\\
    \Rightarrow &f:\varnothing\rightarrow Y\\
    \Rightarrow & \varnothing\in Y^\varnothing\\
    \therefore& \{\varnothing\}\subset Y^\varnothing\\
    \mathbf{ii.} \ &Y^\varnothing\subset \mathcal{P}(\varnothing\times Y) = \{\varnothing\}\\
    \therefore &Y^\varnothing \subset \{\varnothing\}\\
    &\mathrm{Q.E.D.}
    \end{aligned}
  • 证明$X$非空时,${\varnothing}^X$为空.
    \begin{aligned}
    & f\in \varnothing^X\\
    \Rightarrow &\forall a\in X,\exists b:(a,b)\in f, X\neq \varnothing\\
    \Rightarrow &\varnothing^X=\varnothing\\
    &\mathrm{Q.E.D.}
    \end{aligned}

    思考: 其实在习题里已经能够看到自然数幂的身影了.

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