[Naïve Set Theory] Section 9 Families

Naïve Set Theory

Section 9 Families

这书名、章数、发布日期真的很配呢.

阐明 Exposition

    • 对于集合$I,X$,如果$x$是一个从$I$$X$的函数,称$x$是一个,定义域$I$的一个元素被称为索引(index),定义域$I$被称为索引集(index set),函数$x$的值域被称为索引族(indexed set).
    • 对于函数$x$在索引为$i$时的值叫族中的(term),记作$x_i$.
    • 对于上述族,我们可称其是$X$中的族$\{x_i\}$.
  • 族的并和交

    • 对于族$\{A_i\}$,其值域的并叫做族$\{A_i\}$的并,写作$\bigcup_{i\in I}A_i$或是$\bigcup_i A_i$.
    • 如果该族非空,则其值域的交叫做$\{A_i\}$的叫叫做族$\{A_i\}$的交,写作$\bigcap_{i\in I}A_i$或是$\bigcap_i A_i$.
  • 一般化并集的结合律

    • $\{I_j\}$是一个定义域为$J$的集合族,令$K=\bigcup_{j\in J}I_j$,令$\{A_k\}$是一个定义域为$K$的集合族,则有如下关系成立$\bigcup_{k\in K}A_k=\bigcup_{j\in J}(\bigcup_{i\in I_j}A_i)$.
  • 一般化并集和交集的分配律

    • $\{A_i\}$$X$子集中的族,且有$B\subset X$,则有$B\cap \bigcup_i A_i = \bigcup_i (B\cap A_i)$以及$B\cup \bigcap_i A_i = \bigcap_i (B\cup A_i)$.
  • 一般化笛卡儿积

    • 考虑$\{X_i\}$是一个定义域为$I$的集合族,则该族的笛卡儿积即是所有集合族$\{x_i\},x_i\in X_i, i\in I$的集合,写作$\times_{i\in I}X_i$$\times_{i}X_i$. (无法使用 ifsym 包,不能输出大"$\times$").
    • 观察到$\times_i X_i = X^I$,我们得到了一般化的笛卡儿积,如高中常说的$R^2, R^3$,可验证其正确性.
  • 再谈投影函数
    • 假使对于以上的$I$$J\subset I$,那么自然产生上述笛卡儿积的一部分$\times_{i\in J}X_i$.
    • 如果使$y_i=x_i, \forall i\in J$,那么$x\rightarrow y$的对应关系被称为$X$$\times_{i\in J}X_i$上的投影,记作$f_J$.
    • 如果$x\in X$,则$f_j$$x$时的值$x_j$被称为$x$$X_j$上的投影. (*此处需要与上一条的投影区分*)
    • 如果函数建立于上文的笛卡儿积$X$上,称其为多变量函数,如果函数建立在笛卡儿积$X_a\times X_b$上,称其为单变量函数.

习题 Exercise

  • $\{A_i\},\{B_i\}$都是集合族,证明$(\bigcup_i A_i)\cap(\bigcup_j B_j) = \bigcup_{i,j}(A_i\cap B_j)$并且$(\bigcap_i A_i)\cup(\bigcap_j B_j) = \bigcap_{i,j}(A_i\cup B_j)$.
    ($\bigcup_{i,j}$表示$\bigcup_{(i,j)\in I\times J}$,交集同理)

    \begin{aligned}
    & \forall x\in (\bigcup_i A_i)\cap(\bigcup_j B_j),\\
    & x\in (\bigcup_i A_i)\land x\in  (\bigcup_j B_j)\\
    \Leftrightarrow & \exists i: x\in A_i \land\exists j: x\in B_j\\
    \Leftrightarrow & \exists i,j: x\in A_i \land x\in B_j\\
    \Leftrightarrow & \exists (i,j)\in I\times J \land (x\in A_i \land x\in B_j)\\
    \Leftrightarrow & \exists (i,j)\in I\times J \land (x\in A_i\cap B_j)\\
    \Leftrightarrow & x\in \bigcup_{i,j}(A_i\cap B_j)\\
    &\mathrm{Q.E.D.}
    \end{aligned}

    交集方法类似,留给读者作为习题(以$0.18032c$的速度逃.

  • 证明$(\bigcup_i A_i)\times(\bigcup_j B_j)=\bigcup_{i,j}(A_i\times B_j)$.
    \begin{aligned}
    & \forall x\in(\bigcup_i A_i)\times(\bigcup_j B_j)\\
    & x=(a,b), a\in (\bigcup_i A_i), b\in (\bigcup_j B_j)\\
    \Leftrightarrow & \exists i: a\in A_i\land\exists j: b\in B_j\\
    \Leftrightarrow & \exists i,j: a\in A_i \land b\in B_j\\
    \Leftrightarrow & \exists (i,j)\in I\times J \land (a\in A_i \land b\in B_j)\\
    \Leftrightarrow & \exists (i,j)\in I\times J \land (a,b)\in(A_i\times A_j)\\
    \Leftrightarrow & x\in \bigcup_{i,j}(A_i\times B_j)\\
    &\mathrm{Q.E.D.}
    \end{aligned}
  • (不考虑空族)证明$\forall j, \bigcap_i X_i\subset X_j\subset\bigcup_i X_i$.
    \begin{aligned}
    \mathbf{i.} \ &\forall x\in \bigcap_i X_i\\
    \Rightarrow & \forall i, x\in X_i\\
    \Rightarrow & i\leftarrow j \Rightarrow x\in X_j \\
    \therefore& \forall j, \bigcap_i X_i\subset X_j\\
    \mathbf{ii.} \ &\forall j, x\in X_j\\
    \Rightarrow & \exists i, x\in X_i\\
    \Rightarrow & x\in \bigcup_i X_i\\
    \therefore& \forall j,X_j\subset\bigcup_i X_i\\
    &\mathrm{Q.E.D.}
    \end{aligned}
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